1η Ενότητα

Αξία θέσης ψηφίου στους μεγάλους αριθμούς

Κάντε κλικ στην εικόνα για να δείτε τη θεωρία του μαθήματος και να εξασκηθείτε.

Μαθηματικά Ενότητα 1

Στα κεφάλαια αυτά θα θυμηθούμε:

Nα διαβάζουμε, να γράφουμε, να συγκρίνουμε και να διαχειριζόμαστεα) φυσικούς αριθμούς μέχρι το 1 εκατομμύριο, β) δεκαδικούς αριθμούς και δεκαδικά κλάσματα, γ) αριθμούς με διαφορετικές μορφές.
Nα συνεχίζουμε ένα μοτίβο.
Nα κάνουμε νοερούς υπολογισμούς με διάφορες στρατηγικές και να ελέγχουμε με κάθετες πράξεις ή με τον υπολογιστή τσέπης.
Nα αναγνωρίζουμε και να φτιάχνουμε γεωμετρικά σχήματα.
Nα λύνουμε προβλήματα σε διάφορα πλαίσια (παιχνίδια, σπαζοκεφαλιές).

Θα μάθουμε:

Nα γράφουμε, να διαβάζουμε, να συγκρίνουμε και να διαχειριζόμαστε φυσικούς αριθμούς μέχρι το 1 δισεκατομμύριο.
Nα μετατρέπουμε ένα κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό ή άλλο κλάσμα (ισοδύναμο).
Nα φτιάχνουμε αριθμούς (φυσικούς και δεκαδικούς) με προϋποθέσεις.
Nα υπολογίζουμε το σφάλμα όταν κάνουμε εκτίμηση, και να χρησιμοποιούμε την εκτίμηση ως στρατηγική επίλυσης ενός προβλήματος.
Nα εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό δεκαδικών αριθμών και τη διαίρεση ακέραιου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό.
Nα εκτελούμε γρήγορους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις με το 10, 100, 1.000.
Nα χρησιμοποιούμε τη στρατηγική της αναγωγής στην κλασματική μονάδα.
Nα κάνουμε νοερούς υπολογισμούς με διαφορετικές μορφές αριθμών.
Nα υπολογίζουμε το μέσο όρο δεδομένων.

Θα μετρήσουμε με το μέτρο, τη μεζούρα, τη ζυγαριά, το θερμόμετρο, το ρολόι.

Θα λύσουμε προβλήματα με ψεύτικα ευρώ, γεωμετρικά σχήματα, κατασκευές, μοτίβα.

Θα παίξουμε παιχνίδια με αριθμούς-στόχους, κάρτες-ψηφία.

Θα κάνουμε σχέδια εργασίας.

Κάντε κλικ στην παρακάτω εικόνα για να λύσετε μερικά προβλήματα....

Το σχολείο μς συνεργάζεται με το Παιδαγωγικό τμήμα της Φλώρινας για μια νέα αντίληψη στα Μαθηματικά.Κάθε βδομάδα θα μπορείτε να λύνετε ένα καινούριο πρόβλημα από τα Μαθηματικά της Φύσης και της ζωής

Title. Doubl

Ενότητα 2

Δεκαδικοί αριθμοί - Δεκαδικά κλάσματα

Κάνε κλικ στην εικόνα για να μεταβείς στο παιχνίδι. πρόσεξε: αντί για υποδιαστολή χρησιμοποίησε τελεία γιατί σε άλλες χώρες βάζουν τελεία στη θέση της υποδιαστολής

Δες τους αριθμούς στις άκρες του στόχου, υπολόγισε περίπου τον αριθμό στον οποίο βρίσκεται κάθε μπαλόνι, γράψε τον αριθμό (με τελεία) και πάτησε "THROW DART" για να ρίξεις το βελάκι. Κάνε πάλι το ίδιο (με νέα εκτίμηση, αν χρειαστεί), μέχρι να τελειώσουν τα βελάκια σου...

Πηγή:

Albert Bradley Bennett, Jr. από http://stin-e-taxi.blogspot.gr/2011/10/blog-post_13.html

Kεφάλαιο 11

Η έννοια της στρογγυλοποίησης

Κεφάλαιο 15

Αναγωγή στη Δεκαδική κλασματική μονάδα

Αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα

Δεκαδικές κλασματικές μονάδες είναι οι κλασματικές μονάδες με παρονομαστή το 10, 100, 1000.....π.χ. 1/10, 1/100, 1/1000....

Για να βρούμε το 1/10, το 1/100 ή το 1/1000 μιας ποσότητας διαιρούμε την ποσότητα αυτή με το 10, το 100 ή το 1000 αντίστοιχα.

π.χ. Σήμερα απουσιάζει το 1/10 των μαθητών της τάξης μας. Πόσοι μαθητές απουσιάζουν;

20 : 10 = 2 μαθητές απουσιάζουν.

Αντίστροφα, όταν γνωρίζουμε τη δεκαδική κλασματική μονάδα, η οποία αντιστοιχεί σε ένα ποσό, και θέλουμε να υπολογίσουμε το συνολικό ποσό, δηλ. την ακέραιη μονάδα, πολλαπλασιάζουμε το ποσό με το 10, το 100 ή το 1000 αντίστοιχα.

π.χ. Το 1/10 των χρημάτων μου είναι 5 ευρώ. Πόσα ευρώ έχω συνολικά;

10 • 5 = 50 ευρώ έχω συνολικά (κάνω πολλαπλασιασμό γιατί γνωρίζω το 1/10 και ζητάω να μάθω τα 10/10, δηλ. την ακέραιη μονάδα)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Ένα σχολείο έχει 240 μαθητές. Από αυτούς τα 6/10 ασχολούνται με τον αθλητισμό. Πόσα είναι τα παιδιά που ασχολούνται με τον αθλητισμό ;

ΔΕΔΟΜΕΝΑ

Ξέρουμε πόσοι είναι όλοι οι μαθητές : 240
Ξέρουμε τι μέρος των μαθητών ασχολείται με τον αθλητισμό : 6/10

ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ

Θέλουμε να βρούμε πόσοι μαθητές είναι αυτά τα 6/10

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗΣ

Για να βρούμε πόσοι μαθητές είναι τα 6/10 , θα πρέπει πρώτα να βρούμε πόσοι μαθητές είναι το 1/10 από τους 240.

Το 1/10 του 240 θα το βρούμε αν διαιρέσουμε το 240 με το 10. Αφού το βρούμε αυτό, θα πολλαπλασιάσουμε με το 6 για να βρούμε πόσα είναι τα 6/10 .

ΛΥΣΗ

240 : 10 = 24 24 * 6 = 144

ΛΟΓΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

Τα 6/10 θα πρέπει να είναι ένας αριθμός που να πλησιάζει στο 240 και το 144είναι τέτοιος. Άρα αφού η πράξη μας είναι σωστή και το αποτέλεσμα λογικό, μπορούμε να δώσουμε την απάντηση.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Τα 6/10 των μαθητών του σχολείου είναι 144 μαθητές.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Πήγαμε στο σούπερ μάρκετ να αγοράσουμε φέτα. Το ένα κιλό κόστιζει 7€. Πόσο κοστίζουν 0,6 κιλά ;

ΔΕΔΟΜΕΝΑ

Ξέρουμε πόσο κοστίζει το 1 κιλό : 7€

Ξέρουμε την ποσότητα που θέλουμε να βρούμε πόσο κοστίζει : 0,6 κιλά

ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ

Θέλουμε να βρούμε την αξία των 0,6 κιλών.

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗΣ

Τα 0, 6 κιλά γράφονται αλλιώς 6/10 . Άρα πρέπει να βρούμε πρώτα πόσο κοστίζει το 1/10 και μετά αυτό που θα βρούμε θα το πολλαπλασιάσουμε με το 6.

ΛΥΣΗ

7 : 10 = 0,7€ 0,7 * 6 = 4,2€

ΛΟΓΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

Τα 0,6 κιλά είναι λίγο παραπάνω από το μισό κιλό, άρα και η αξία τους θα πρέπει να είναι λίγο παραπάνω από την αξία του μισού κιλού. Το μισό του 7 είναι 3,5. Αφού εμείς βρήκαμε 4,2, το αποτέλεσμα φαίνεται να είναι λογικό και επομένως μπορούμε να δώσουμε την απάντηση.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Τα 0,6 κιλά φέτας κοστίζουν 4,2€.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3

Τα 6/10 των μαθητών ενός σχολείου είναι 120 μαθητές. Πόσους μαθητές έχει το σχολείο ;

ΔΕΔΟΜΕΝΑ

Το πρόβλημα μας λέει πόσο είναι τα8/10 του συνόλου των μαθητών του σχολείου : 120

ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ

Θέλουμε να βρούμε πόσοι είναι όλοι οι μαθητές του σχολείου.

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗΣ

Οι μαθητές όλου του σχολείου θα είναι 10/10δηλαδή 10 * 1/10

Εμείς γνωρίζουμε τα 6/10 δηλαδή τα 6 * 1/10

Πρέπει να βρούμε λοιπόν πρώτα πόσο είναι το 1/10 των παιδιών.

Θα διαιρέσουμε το 120 με το 6 και αυτό που θα βρούμε θα είναι το 1/10 . Αυτό που βρήκαμε θα το πολλαπλασιάσουμε με το 10 για να βρούμε τον αριθμό των παιδιών όλου του σχολείου.

ΛΥΣΗ

120 : 6 = 20 20 * 10 = 200

ΛΟΓΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

Τα 6/10 είναι λίγο παραπάνω από το μισό. Με αποτέλεσμα 200 φαίνεται το 120 να είναι λίγο παραπάνω από το μισό, άρα το αποτέλεσμά μας είναι λογικό και μπορούμε να προχωρήσουμε στην απάντηση.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Όλο το σχολείο είχε έχει 200 μαθητές.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4

Τα 4/10 του κιλού κρέατος κοστίζουν 10€. Πόσο κοστίζουν τα 7/10 ;

ΔΕΔΟΜΕΝΑ

Ξέρουμε την ποσότητα του κρέατος 4/10 : του κιλού.

Ξέρουμε πόσο κοστίζει αυτή η ποσότητα.

Ξέρουμε και την ποσότητα την αξία της οποίας θέλουμε να υπολογίσουμε : 7/10

ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ

Θέλουμε να βρούμε την αξία των 7/10 του κιλού κρέατος.

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗΣ

Γνωρίζουμε ότι τα 4/10 είναι 4 *1/10 και τα θα 7/10 είναι 7 *1/10 . Άρα πρέπει να βρούμε πόσο κοστίζει το 1/10 .

Θα διαιρέσουμε το 10 με το 4 και αυτό που θα βρούμε θα το πολλαπλασιάσουμε με το 7.

ΛΥΣΗ

10 : 4 = 2,5€ 2,5 * 7 = 17,5€

ΛΟΓΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

Αφού οι πράξεις είναι σωστές παρατηρούμε το εξής : Το 7 είναι λίγο μικρότερο από το διπλάσιο του 4. Ταυτόχρονα τα 17,5€ είναι λίγο λιγότερα από το διπλάσιο των 10€. Άρα το αποτέλεσμα φαίνεται να είναι λογικό και μπορούμε να προχωρήσουμε στην απάντηση.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Τα 7/10 του κρέατος κοστίζουν 17,5€.

Συνοψίζοντας :

Αν γνωρίζω όλο το ποσό και θέλω να υπολογίσω ένα μέρος του, ένα κλάσμα του, κάνω αναγωγή στην κλασματική δεκαδική μονάδα. Βρίσκω, δηλαδή, τι ποσότητα αναλογεί στο 1/10 ή στο 1/100 ή στο 1/1000 και ό,τι βρω το πολλαπλασιάζω με τον αριθμητή του δεκαδικού κλάσματος.

Αν γνωρίζω το μέρος, δηλαδή το κλάσμα, ενός ποσού και θέλω να βρω όλη την ποσότητα ή ένα άλλο κλάσμα του, κάνω πάλι αναγωγή στην κλασματική δεκαδική μονάδα.

Βρίσκω, δηλαδή, τι ποσότητα αναλογεί στο 1/10 ή στο 1/100 ή στο 1/1000 διαιρώντας τον αριθμό με τον αριθμητή του κλάσματος και μετά ό,τι βρω το πολλαπλασιάζω με το 10, το 100 ή το 1.000, αν θέλω να βρω όλη την ποσότητα ή με τον αριθμητή του κλάσματος που θέλω να βρω.

Α. Γνωρίζουμε ολόκληρη την ποσότητα και θέλουμε να βρούμε ένα μέρος της.

Ο κύριος Περικλής παίρνει μηνιαίο μισθό 1.280 €. Κάθε μήνα αποταμιεύει 2/10 του μισθού του.
Πόσα χρήματα αποταμιεύει;

ΛΥΣΗ
Γνωρίζουμε ολόκληρη την ποσότητα:μηνιαίος μισθός: 1.280 €
Γνωρίζουμε και το 1/10 της ποσότητας: 1.280 : 10 = 128 €
Άρα τα 2/10 της ποσότητας θα είναι 2 x 128 = 256 €

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αποταμιεύει 256 € το μήνα.

Β. Γνωρίζουμε ένα μέρος της ποσότητας και θέλουμε να βρούμε ολόκληρη την ποσότητα:

Ο κύριος Παύλος κατανάλωσε 5/10 της μπογιάς που είχε αγοράσει για να βάψει τους τοίχους του σπιτιού του. Η μπογιά που κατανάλωσε ήταν 25 λίτρα. Πόσα λίτρα ήταν όλη η μπογιά που είχε αγοράσει;

ΛΥΣΗ
Γνωρίζω ότι 5/10 της μπογιάς είναι 25 λίτρα
Άρα το 1/10 της μπογιάς είναι 25 : 5 = 5 λίτρα
και επομένως τα 10/10 της μπογιάς (δηλ. ολόκληρη η ποσότητα) θα είναι 10 x 5= 50 λίτρα

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ο κύριος Πάυλος είχε αγοράσει 50 λίτρα μπογιά.

για το σπίτι

Να υπολογίσετε:

το 1/10 των αριθμών 70, 850 και 2.500

τα 3/10 των αριθμών 60, 450 και 720

Εάν το 1/10 τριών αριθμών είναι το 7, το 14 και το 25 αντίστοιχα, ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί;

Εάν τα 4/10 τριών αριθμών είναι το 8, το 12 και το 20 αντίστοιχα, ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί;

Αν τα 7/10 ενός αριθμού είναι το 21, πόσα είναι τα 4/10 του ίδιου αριθμού;

Προβλήματα κεφάλαιο 15

Εξασκούμαι

Κεφάλαιο 16

Κλασματικές μονάδες

-Χωρίζουμε ένα τετράγωνο σε 2 ίσα μέρη:

Το καθένα από τα 2 ίσα μέρη είναι ένα δεύτερο του τετραγώνου και το γράφουμε 1/2 . Το 1/2 λέγεται κλασματική μονάδα.

-Η σημαία της Γερμανίας είναι χωρισμένη σε 3 ίσα μέρη.

Το κάθε χρώμα αντιστοιχεί στο 1/3 της σημαίας και λέγεται κλασματική μονάδα.

-Η σημαία του Αγίου Μαυρίκιου είναι χωρισμένη σε 4 ίσα μέρη.

Το καθένα από τα 4 ίσα μέρη είναι το ένα τέταρτο της σημαίας και το γράφουμε 1/4 . Το 1/4 λέγεται κλασματική μονάδα.

-Χωρίζουμε το ορθογώνιο σε 5 ίσα μέρη.

Το καθένα από τα 5 ίσα μέρη είναι το ένα πέμπτο του ορθογωνίου και το γράφουμε 1/5 . Το 1/5 λέγεται κλασματική μονάδα. Το 1 από τα ίσα μέρη που μοιράσαμε την ακέραιη μονάδα το ονομάζουμε κλασματική μονάδα.

Με αυτό τον τρόπο δημιουργήσαμε τις κλασματικές μονάδες: 1/2 , 1/3 , 1/4 , 1/5.

Οι κλασματικές μονάδες έχουν αριθμητή τον αριθμό 1.

π.χ. Το κίτρινο χρώμα είναι το 1/4 της σημαίας.

π.χ. Το κίτρινο χρώμα είναι το 1/3 της σημαίας.

Τεστ στις κλασματικές μονάδες

Κάνε κλικ στην εικόνα για να παίξεις ένα παιχνίδι με σημαίες.

Κάνε κλικ στην εικόνα για να παίξεις.

Κεφάλαιο 17 :Ισοδύναμα κλάσματα

Ισοδύναμα κλάσματα είναι τα κλάσματα που εμφανίζoνται διαφορετικά αλλά δείχνουν ακριβώς το ίδιο ποσό.

Εξάσκηση κανε κλικ και παίξε.

Φτιάξτε ισοδύναμα κλάσματα.

Βρείτε τα ισοδύναμα κλάσματα.

Συμπληρώστε τους αριθμητές και παρονομαστές στα ισοδύναμα κλάσματα.

Συμπληρώστε τα κενά,ώστε να γίνουν ισοδύναμα τα κλάσματα.

Kεφάλαιο 18

Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό

Κάθε κλάσμα φανερώνει το ακριβές πηλίκο της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή.

Π. χ. αν θέλουμε να μοιράσουμε 2 σοκολάτες σε 2 παιδιά, θα πάρει το καθένα από μία, γιατί 2:2=1.

Αν όμως θέλουμε να μοιράσουμε 2 σοκολάτες σε 3 παιδιά, θα χωρίσουμε τη σοκολάτα σε 3 ίσα μέρη, οπότε το κάθε παιδί θα πάρει δύο φορές από 1/3, δηλαδή 2/3.

Αυτό είναι το ακριβές πηλίκο της διαίρεσης 2:3=2/3

Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα σε δεκαδικό, διαιρούμε τον αριθμητή του με τον παρονομαστή του.

Π.χ. 3/5=3:5=0,6 και 3/4=3:4=0,75

Αν μια διαίρεση δεν τελειώνει προχωρούμε συνήθως ως τα χιλιοστά(3 δεκαδικά ψηφία)

Για να συγκρίνουμε ετερώνυμα κλάσματα π. χ. 3/4, 4/5

α) τα μετατρέπουμε σε δεκαδικούς

Π. χ. 3/4= 3:4=0,754/5=4:5= 0,80

β) τα μετατρέπουμε σε ισοδύναμα ομώνυμα

Π. χ. το 3/4 πολλαπλασιάζουμε τους όρους του με το 5 και έχουμε 15/20 το 4/5 πολλαπλασιάζουμε τους όρους του με το 4 και έχουμε 16/20

Άρα 15/20 < 16/20

Κάνε κλικ στην εικόνα για να παίξεις.

Με τα βελάκια μπορείς να αλλάζεις τον αριθμητή ή τον παρονομαστήκαι δίπλα το κλάσμα αυτόματα να μετατρέπεται σε δεκαδικό αριθμό.Μπορείς, επίσης, να φτιάξεις το δικό σου κλάσμα στο πλαίσιο κάτω δεξιάκαι να το μετατρέψεις σε δεκαδικό αριθμό πατώντας το "calculate".

Πρόσθεση και αφαίρεση ομώνυμων κλασμάτων

Η πίτσα

Ο Δημήτρης και η αδελφή του παράγγειλαν μια πίτσα. Ο Δημήτρης έφαγε τα 5/12 της πίτσας και η αδελφή του τα 3/12 της πίτσας.

α) Τι μέρος της πίτσας έφαγαν και τα δύο αδέλφια μαζί;

β) Τι μέρος της πίτσας περίσσεψε;

α) Σκέφτομαι πως για να βρω τι μέρος της πίτσας έφαγαν και τα δύο αδέλφια μαζί πρέπι να προσθέσω τα μέρη της πίτσας που έφαγαν συνολικά. Πώς όμως προσθέτω δύο κλάσματα ομώνυμα; Απλά προσθέτω μόνο τους αριθμητές ενώ παρανομαστής μένει ο ίδιος.

β) Για να βρω τι μέρος της πίτσας περίσσεψε πρέπει να αφαιρέσω από το όλο (που είναι η πίτσα) το μέρος της πίτσας που έφαγαν τα δύο αδέλφια.

Πώς όμως μπορώ να απεικονίσω σε κλάσμα το όλο; Απλά γράφω ένα κλάσμα με αριθμητή και παρανομαστή τον ίδιο αριθμό. Κι επειδή στο πρόβλημά μας τα κλάσματα που μας βοηθούν να το λύσουμε έχουν παρανομαστή το 12 τότε και το όλο θα απεικονιστέι με το 12/12.

Ωραία, και πώς αφαιρώ ομώνυμα κλάσματα; Απλούστατα αφαιρώ τους αριθμητές και παρανομαστής παραμένει ο ίδιος. Άρα:

Απάντηση: Τα δύο αδέλφια έφαγαν τα 8/12 της λαχταριστής πίτσας ενώ περίσσεψαν τα 4/12 αυτής.

Καλά όλα αυτά, κυρία.

Αλλά πώς θα προσθέσω δύο μεικτούς αριθμούς;

π.χ.

Υπάρχουν δύο τρόποι:

α) Θα προσθέσω το ακέραιο μέρος του ενός μεικτού με το ακέραιο μέρος του άλλου μεικτού αριθμού και μετά τα κλάσματά τους αφού είναι ομώνυμα, ή

β) Θα μετατρέψω τους μεικτούς σε κλάσματα και θα προσθέσω τα κλάσματα. ΠΡΟΣΟΧΗ: Θα προκύψει καταχρηστικό κλάσμα που πάλι θα πρέπει να το μετατρέψω σε μεικτό αριθμό.

Έτσι, ο πρώτος τρόπος θα είναι:

Ο δεύτερος τρόπος θα είναι:

Κι όταν θέλω να βρω τη διαφορά τι κάνω;

Ή θα μετατρέψω τους μεικτούς σε κλάσματα όπως παρακάτω:

Ή θα αφαιρέσω τα ακέραια μέρη των μεικτών μεταξύ τους και τα κλασματικά μέρη μεταξύ τους.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Παρατηρώ ότι δεν μπορώ να αφαιρέσω τα κλασματικά μέρη των μεικτών αριθμών. Τι κάνω;

Πρέπει να μετατρέψω τον πρώτο μεικτό αριθμό σε έναν άλλο στον οποίο το κλασματικό τμήμα του να αφαιρείται από το κλασματικό μέρος του άλλου αριθμού. Σκέφτομαι ότι το ακέραιο μέρος το πρώτου μεικτού είναι το 3 δηλαδή

1+1+1 ή αλλιώς 12/12 + 12/12 + 12/12. Βγάζω το ένα από τα τρία και μου μένουν 2 στο ακέραιο μέρος. Το 1 ή αλλιώς τα 12/12 που έμειναν τα προσθέτω στα 4/12 και γίνονται 16/12. Άρα ο καινούριος μεικτός αριθμός που προκύπτει είναι ο και έτσι μπορώ να συνεχίσω την αφαίρεσή μου.